Cho f : [ a , b ] → R {\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} } là hàm số xác định đoạn [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} của tập hợp số thực, R {\displaystyle \mathbb {R} } , và

P = { [ x 0 , x 1 ] , [ x 1 , x 2 ] , … , [ x n − 1 , x n ] } {\displaystyle P=\left\{[x_{0},x_{1}],[x_{1},x_{2}],\dots ,[x_{n-1},x_{n}]\right\}} ⁠,

là là sự phân chia của I, khi

a = x 0 < x 1 < x 2 < ⋯ < x n = b {\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n}=b} .

Tổng Riemann S {\displaystyle S} của f trên I với sự phân chia P (độ dài) được định nghĩa bởi:

S = ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) Δ x i {\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\,\Delta x_{i}}

khi Δ x i = x i − x i − 1 {\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}} và một đoạn x i ∗ ∈ [ x i − 1 , x i ] {\displaystyle x_{i}^{*}\in [x_{i-1},x_{i}]} .[1]Chú ý từ "một đoạn" của câu trước. Một cách nghĩ khác về dấu hoa thị này là ta đang chọn một điểm bất kỳ trên đoạn này, và không cần quan tâm đến là chọn điểm nào; khi mà hiệu hoặc độ dài của đoạn tiến tới không, hiệu giữa hai điểm trong đoạn hình chữ nhật này cũng tiến tới không. Đây là bởi vì sự lựa chọn x i ∗ {\displaystyle x_{i}^{*}} trong đoạn [ x i − 1 , x i ] {\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]} là bất kỳ, nên bất kỳ hàm số f nào xác định trên khoảng I và khoảng chia P, mỗi một hàm số sẽ cho ra các tổng khác nhau phụ thuộc vào x i ∗ {\displaystyle x_{i}^{*}} được chọn, miễn là x i − 1 ≤ x i ∗ ≤ x i {\displaystyle x_{i-1}\leq x_{i}^{*}\leq x_{i}} vẫn đúng.